Iwọn ti ofurufu: bi o ṣe le ṣajọ? Awọn oriṣiriṣi awọn idogba ofurufu

Awọn ofurufu aaye le ti wa ni telẹ ni awọn ọna oriṣiriṣi (ọkan aami kekere ati fekito, awọn fekito ati awọn ojuami meji, mẹta ojuami, bbl). O ti wa ni pẹlu yi ni lokan, awọn ofurufu idogba le ni o yatọ si omiran. Tun labẹ awọn ipo ofurufu le jẹ iru re, ìgùn, intersecting, bbl Lori yi ati ki o yoo soro ni yi article. A yoo kọ lati ṣe gbogbo idogba ti awọn ofurufu ati ki o ko nikan.

Ni deede fọọmu ti idogba

Rò R ni awọn aaye _3, eyi ti o ni a eto ipoidojuko anigunrege XYZ. A setumo a fekito α, eyi ti yoo si ni tu lati awọn starting point O. Nipasẹ opin ti awọn fekito α fa ofurufu P ti o jẹ papẹndikula si o.

Yan P ni ojuami alainidi Q = (x, y, z). Awọn rediosi fekito ti awọn ojuami Q ami lẹta p. Awọn ipari ti awọn fekito je egbe α p = IαI ati Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Yi kuro fekito, eyi ti o ti wa ni directed ni awọn itọsọna bi fekito α. α, β ati γ - ni o wa awọn agbekale ti o ti wa ni akoso laarin awọn fekito ati awọn rere itọnisọna Ʋ aaye àáké x, y, z lẹsẹsẹ. Awọn iṣiro kan ti a ti ojuami lori fekito QεP Ʋ ni a ibakan eyi ti o jẹ dogba si p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Awọn loke idogba ni o nilari nigbati p = 0. Awọn nikan n ofurufu ninu apere yi, yoo gòke ojuami Eyin (α = 0), eyi ti o jẹ ti Oti, ati kuro fekito Ʋ, tu lati ojuami ìwọ ni yio je papẹndikula si P, biotilejepe awọn oniwe-itọsọna, eyi ti o tumo si wipe fekito Ʋ pinnu soke si awọn ami. Ti tẹlẹ idogba ni wa ofurufu P, kosile ni fekito fọọmu. Sugbon ni view ti awọn oniwe-ipoidojuko ni:

P jẹ tobi ju tabi dogba si 0. Awa ti ri ofurufu idogba ni deede fọọmu.

Gbogbo idogba

Ti o ba ti idogba ni ipoidojuko isodipupo nipa eyikeyi nọmba ti o ni ko dogba si odo, a gba idogba deede lati yi ti o asọye awọn gan ofurufu. O yoo ni awọn wọnyi fọọmu:

Nibi, A, B, C - ni awọn nọmba ti nigbakannaa ti o yatọ lati odo. Idogba yi ni a npe ni idogba ti awọn gbogboogbo fọọmu ti ofurufu.

Awọn idogba ti awọn ọkọ ofurufu. pataki igba

Idogba le gbogbo wa ni títúnṣe pẹlu afikun awọn ipo. Ro diẹ ninu awọn ti wọn.

Ro pe alafisodipupo A jẹ 0. Eleyi tọkasi wipe awọn ofurufu ni afiwe si awọn predetermined ipo agbanrere. Ni idi eyi, awọn fọọmu ti idogba ayipada: Wu + Cz + D = 0.

Bákan náà, awọn fọọmu ti idogba ati ki o yoo si yato pẹlu awọn wọnyi ipo:

• Ni ibere, ti o ba ti B = 0, idogba ayipada si ãke + Cz + D = 0, eyi ti yoo fihan awọn parallelism si awọn ipo Oy.
• Keji, ti o ba C = 0, idogba ti wa ni yipada sinu ãke + By + D = 0, ti o ni lati sọ nipa iru si awọn predetermined ipo iwon.
• Kẹta, ti o ba D = 0, idogba yoo han bi ãke + By + Cz = 0, eyi ti yoo tunmọ si wipe awọn ofurufu intersects Eyin (awọn origin).
• Ẹkẹrin, ti o ba ti A = B = 0, idogba ayipada si Cz + D = 0, eyi ti yoo fi mule lati parallelism Oxy.
• Karun, ti o ba B = C = 0, idogba di ãke + D = 0, eyi ti o tumo si wipe awọn ofurufu ti wa ni iru to Oyz.
• Sixthly, ti o ba A = C = 0, idogba gba awọn fọọmu Wu + D = 0, i.e., yoo jabo si awọn parallelism Oxz.

Fọọmu ti idogba ni àáyá

Ni awọn irú ibi ti awọn nọmba A, B, C, D yatọ si lati odo, awọn fọọmu ti idogba (0) ni o le wa bi wọnyi:

x / a + y / b + z / c = 1,

ninu eyiti a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

A gba bi awọn kan abajade idogba ti awọn ofurufu ni ege. O yẹ ki o wa woye wipe yi ofurufu yoo intersect awọn x-ipo ni ojuami pẹlu ipoidojuko (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), ati iwon - (0,0, s).

Fi fun awọn idogba x / a + y / b + z / c = 1, o jẹ ko soro lati visualize awọn placement ofurufu ojulumo si a predetermined ipoidojuko eto.

Ipoidojuko ti awọn deede fekito

Ni deede fekito n si ofurufu P ni o ni ipoidojuko ti o wa ni olùsọdipúpọ ti gbogbo idogba ti awọn ofurufu, i.e. n (A, B, C).

Ni ibere lati mọ awọn ipoidojuko ti awọn deede n, o jẹ to lati mọ gbogbo idogba fun ofurufu.

Nigba lilo idogba ni àáyá, eyi ti o ni o ni awọn fọọmu x / a + y / b + z / c = 1, bi nigba lilo gbogbo idogba le ti wa ni kọ ipoidojuko ti eyikeyi deede fekito a fi ofurufu: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

O yẹ ki o wa woye wipe awọn deede fekito ti ran lati yanju orisirisi isoro. Awọn wọpọ isoro ti wa ni wa ni ẹri ìgùn tabi ni afiwe ofurufu, awọn iṣẹ-ṣiṣe ti wiwa awọn agbekale laarin awọn ofurufu tabi awọn agbekale laarin awọn ofurufu ati ila gbooro.

Tẹ ni ibamu si awọn ofurufu idogba ati ipoidojuko ojuami deede fekito

A nonzero fekito n, papẹndikula si a fi ofurufu, ti a npe deede (deede) si a predetermined ofurufu.

Rò pe ninu awọn ipoidojuko aaye (a eto ipoidojuko anigunrege) Oxyz ṣeto:

• Mₒ ojuami pẹlu ipoidojuko (hₒ, uₒ, zₒ);
• odo fekito n = A * i + B * j + C * k.

O nilo lati ṣe idogba ti awọn ofurufu ti o gba koja Mₒ ojuami papẹndikula si awọn deede n.

Ni awọn aaye ti a yan eyikeyi ojuami alainidi ki o si yan M (x, y, z). Jẹ ki awọn rediosi fekito ti kọọkan ojuami M (x, y, z) yoo jẹ r = x * i, + y * j + z * k, ati awọn rediosi fekito ti a ojuami Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Ojuami M yoo jẹ a fi fun ofurufu, ti o ba ti fekito MₒM jẹ papẹndikula si awọn fekito n. Ti a kọ ni majemu ti orthogonality lilo awọn aṣoju ọja:

[MₒM, n] = 0.

Niwon MₒM = r-rₒ, awọn fekito idogba ti awọn ofurufu yoo wo bi yi:

[R - rₒ, n] = 0.

Idogba yi tun le ni miiran apẹrẹ. Fun idi eyi, awọn ini ti awọn aṣoju ọja, ki o si iyipada awọn ẹgbẹ osi ti idogba. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ti o ba ti [rₒ, n] ti tọka si bi s, a gba awọn wọnyi idogba: [r, n] - a = 0 tabi [r, n] = s, eyi ti o expresses awọn constancy ti awọn ojo iwaju lori deede fekito ti awọn rediosi-aṣoju ti fi fun ojuami ti o wa ofurufu.

Bayi o le gba awọn ipoidojuko iru gbigbasilẹ ofurufu wa fekito idogba [r - rₒ, n] = 0. Niwon r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, ati n = a * i + B * j + C * k, a ni:

O wa ni jade ti a ni idogba ti wa ni akoso ofurufu ran nipasẹ awọn ojuami papẹndikula si awọn deede n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tẹ ni ibamu si awọn ofurufu idogba ati ipoidojuko ojuami meji ti awọn fekito ofurufu collinear

A setumo meji lainidii ojuami M '(x', y ', z') ati M "(x", y ", z"), bakanna bi awọn fekito (a ', a ", a ‴).

Bayi a le kọ idogba predetermined ofurufu ti gba koja awọn ti wa tẹlẹ ojuami M 'ati M ", ati kọọkan ojuami pẹlu awọn ipoidojuko M (x, y, z) afiwe si a fi fun fekito.

Bayi M'M aṣoju x = {x ', y-y'; zz '} ati M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} yẹ ki o wa coplanar pẹlu awọn fekito a = (a ', a ", a ‴), eyi ti o tumo si wipe (M'M M" M, a) = 0.

Nítorí náà, wa idogba ti a ofurufu ni aaye yoo wo bi yi:

Iru ti ofurufu idogba, Líla mẹta ojuami

Jẹ ká sọ ti a ni meta ojuami: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Ni ‴, z ‴), eyi ti ko ba wa si kanna ila. O jẹ pataki lati kọ idogba ti awọn ofurufu ran nipasẹ awọn mẹta ojuami pato. geometry yii njiyan wipe yi ni irú ti ofurufu ko ni tẹlẹ, o ni o kan kan ati ki o nikan. Niwon yi ofurufu intersects ojuami (x, y ', z'), awọn oniwe-idogba fọọmu ni yio jẹ:

Nibi, A, B, ati C wa ti o yatọ lati odo ni akoko kanna. Tun fi ofurufu intersects meji siwaju sii ojuami (x ", y", z ") ati (x ‴, y ‴, z ‴). Ni yi asopọ yẹ ki o wa ti gbe jade yi ni irú ti ipo:

Bayi a le ṣẹda kan aṣọ eto ti idogba (PCM) pẹlu unknowns u, v, w:

Ninu wa nla x, y tabi z dúró ojuami alainidi eyi ti o satisfies idogba (1). Considering idogba (1) ati ki o kan eto ti idogba (2) ati (3) awọn eto ti idogba itọkasi ni awọn nọmba loke, awọn fekito satisfies N (A, B, C) eyi ti o jẹ nontrivial. O ti wa ni nitori awọn determinant ti awọn eto ti wa ni odo.

Idogba (1) ti a ti sọ ni, yi ni idogba ti awọn ofurufu. 3 ojuami o gan lọ, ati awọn ti o rorun lati ṣayẹwo. Lati ṣe eyi, a faagun awọn determinant nipa awọn eroja ni akọkọ kana. Ti awọn ti wa tẹlẹ ini determinant wọnyi pe wa ofurufu ni nigbakannaa intersects awọn mẹta akọkọ predetermined ojuami (x, y ', z'), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Ki a pinnu lati ṣiṣe ni iwaju ti wa.

Dihedral igun laarin awọn ofurufu

Dihedral igun jẹ a aye jiometirika apẹrẹ akoso nipa meji idaji-ofurufu ti apemọra pe lati kan ni ila gbooro. Ni gbolohun miran, apa ti awọn aaye eyi ti o ti ni opin si ni idaji-ofurufu.

Ka so pe a ni meji ofurufu pẹlu awọn wọnyi idogba:

A mọ pe awọn fekito N = (A, B, C) ati N¹ = (A¹, H¹, S¹) ni ibamu si predetermined ofurufu ti wa ni ìgùn. Ni yi iyi, awọn igun φ laarin aṣoju N ati N¹ dogba igun (dihedral), eyi ti o ti wa ni be laarin awọn wọnyi ofurufu. Awọn aṣoju ọja ti wa ni fun nipasẹ:

NN¹ = | N || N¹ | nitori φ,

gbọgán nitori

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

O ti wa ni to lati ro wipe 0≤φ≤π.

Kosi meji ofurufu ti intersect, fọọmu meji igun (dihedral): φ ₁ ati φ _2. Won iye jẹ dogba si π (φ ₁ + φ ₂ = π). Bi fun wọn cosines, wọn idi papo ni o wa dogba, sugbon ti won wa ti o yatọ ami, ti o ni, nitori φ ₁ = -cos φ _2. Ti o ba ti ni idogba (0) ti wa ni rọpo nipasẹ A, B ati C of -A, -B ati -C lẹsẹsẹ, awọn idogba, a gba, yoo mọ awọn kanna ofurufu, awọn nikan igun φ ni idogba nitori φ = NN ¹ / | N || N ¹ | O yoo wa ni rọpo nipasẹ π-φ.

Idogba ti awọn ìgùn ofurufu

Ti a npe ni ìgùn ofurufu, laarin eyi ti awọn igun ni 90 iwọn. Lilo awọn ohun elo ti gbekalẹ loke, ti a le ri idogba ti a ofurufu papẹndikula si awọn miiran. Sawon a ni meji ofurufu: ãke + By + Cz + D = 0, ki o si + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. A le so pe ti won ba wa duro ni oro ti o ba ti nitori = 0. Eleyi tumo si wipe NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Idogba ti a ni afiwe ofurufu

O tọka si meji ni afiwe ofurufu ti o ni ko si ojuami ni wọpọ.

Awọn majemu ti iru ofurufu (wọn idogba o wa kanna bi ni išaaju ìpínrọ) ni wipe awọn aṣoju N ati N¹, eyi ti o wa papẹndikula si wọn, collinear. Eleyi tumo si wipe awọn wọnyi ipo ti wa ni pade iseepin:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Ti o ba ti iwon ofin ti wa ni ti fẹ - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

yi tọkasi wipe data ofurufu ti kanna. Eleyi tumo si wipe idogba ãke + Nipa + Cz + D = 0 ati + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 apejuwe kan ofurufu.

Awọn ijinna lati ojuami to ofurufu

Ka so pe a ni a ofurufu P, eyi ti o ti fi fun nipasẹ (0). O jẹ pataki lati ri awọn ijinna lati ojuami pẹlu ipoidojuko (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , O nilo lati mu idogba ni ofurufu II deede irisi lati ṣe o:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Ninu apere yi, ρ (x, y, z) jẹ awọn rediosi fekito ti wa ojuami Q, be lori n p - n ni awọn ipari ti awọn ìgùn, ti a ti tu lati odo ojuami, v - ni kuro fekito, eyi ti o wa ni idayatọ ninu awọn itọsọna a.

Awọn iyato ρ-ρº rediosi fekito ti a ojuami Q = (x, y, z), ohun ini si n ati awọn rediosi fekito kan ti a ti fi fun ojuami Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) ni iru kan fekito, ifise iye ti awọn iṣiro ti eyi ti on v je egbe ni ijinna d, eyi ti o jẹ pataki lati ri lati Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) to P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ṣugbọn

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Ki o wa ni jade,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Bayi o jẹ wipe ko lati ṣe iṣiro awọn ijinna d lati ₀ si Q ofurufu P, o jẹ pataki lati lo deede wo ofurufu idogba, awọn naficula si awọn osi ti p, ati awọn ti o kẹhin ibi ti x, y, z aropo (hₒ, uₒ, zₒ).

Bayi, a ri awọn idi iye ti awọn Abajade ikosile ti wa ni ti beere d.

Lilo awọn sile ti ede, a gba awọn kedere:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Ti o ba ti pàtó kan ojuami Q ₀ jẹ lori awọn miiran apa ti awọn ofurufu P bi awọn Oti, ki o si laarin awọn fekito ρ-ρ ⁰ ati v jẹ ẹya obtuse igun, bayi:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Ni awọn nla nigbati awọn ojuami Q ₀ ni apapo pẹlu awọn Oti be lori kanna apa ti awọn U, awọn ńlá igun ti wa ni da, ti o ni:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Awọn abajade ni wipe ni awọn tele nla (ρ ^0, v)> p, ninu awọn keji (ρ ^0, v)

Ati awọn oniwe-tangent ofurufu idogba

Niti ofurufu si awọn dada ni ojuami ti tangency Mº - ofurufu kan ti o ni awọn gbogbo awọn ti ṣee tangent si ti tẹ kale nipasẹ ti ojuami lori dada.

Pẹlu yi dada fọọmu ti idogba F (x, y, z) = 0 ni idogba ti awọn tangent ofurufu tangent ojuami Mº (hº, uº, zº) ni yio jẹ:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Ti o ba ti awọn dada ti ṣeto kedere z = f (x, y), ki o si awọn tangent ofurufu ti wa ni ṣàpèjúwe nipasẹ awọn idogba:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Ikorita ti meji ofurufu

Ni onisẹpo mẹta aaye ti wa ni a ipoidojuko eto (onigun) Oxyz, fun meji ofurufu P 'ati P' ti ni lqkan ati ki o ko pekinreki. Niwon eyikeyi ofurufu, eyi ti o jẹ ni a eto ipoidojuko anigunrege ni asọye nipa awọn gbogboogbo idogba, a ro pe n 'ki o si n "ti wa ni asọye nipa awọn idogba A'x + V'u S'z + + D' = 0 ati A" + B x '+ y pẹlu "z + D" = 0. Ninu apere yi a ni deede n '(A', B ', C') ti ofurufu P 'ati awọn deede n "(A", B ", C") ti awọn ofurufu P'. Bi wa ofurufu ti wa ni ko ni afiwe o si ma ṣe pekinreki, ki o si awọn wọnyi aṣoju ko ba wa ni collinear. Lilo awọn ede ti mathimatiki, a ni yi majemu le ti wa ni kọ bi: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Ati", λ * Ni ", λ * C"), λεR. Jẹ awọn ni ila gbooro ti o wa da ni ikorita P 'ati P ", yoo wa ni ti tọka si nipa awọn lẹta a, ninu apere yi a = P' ∩ P".

ati ki o - a ila wa ninu kan ti ọpọ ti ojuami (wọpọ) ofurufu P 'ati P ". Eleyi tumo si wipe ipoidojuko ti eyikeyi ojuami ohun ini si awọn ila a, gbọdọ ni nigbakannaa ni itẹlọrun idogba A'x + V'u S'z + + D '= 0 ati A "x + B' + C y" z + D "= 0. Eleyi tumo si wipe ipoidojuko ojuami ni yio je kan pato ojutu ti awọn wọnyi idogba:

Awọn esi ni wipe awọn ojutu (ìwò) ti yi eto ti idogba yoo mọ awọn ipoidojuko ti kọọkan ti ojuami lori ila eyi ti yoo sise bi ojuami ti ikorita P 'ati P ", ati ki o mọ a ila ni a ipoidojuko eto Oxyz (onigun) aaye.