Atokun iwe iṣaro: akoko, isareti ati agbekalẹ

Ilana ti o ni oriṣi ohun elo (ara) ti o ni ara kan lori wiwa ti ko ni nkan ti ko ni nkan (ibi ti o jẹ ti ko ni aiṣe ti a fi ṣe ayẹwo si ara ara) ni ibudo gravitational aṣọ kan ni a pe ni iwe-ẹkọ kika mathematiki (orúkọ miiran jẹ oscillator). Awọn oriṣi miiran ti ẹrọ yii wa. Dipo ti o tẹle ara, a le lo ọpa ti ko lagbara. Atilẹjade iwe-ẹkọ kika mathematiki le ṣe afihan ifarahan ti awọn iṣẹlẹ iyanu pupọ. Pẹlu gbigbọn kekere ti gbigbọn, a npe ni irọrun rẹ ni harmonic.

Alaye ti gbogbogbo nipa eto eto-ẹrọ

Awọn agbekalẹ fun akoko oscillation ti iwe itan yii ni ariyanjiyan ti Ilu Dutch jẹ Huygens (1629-1695). Igbẹhin yii. Newton jẹ ayẹdùn ti eto yii. Ni 1656, o ṣẹda aago akọkọ pẹlu ilana eto itọnisọna. Wọn wọn akoko pẹlu otitọ kan ti o ṣe pataki fun awọn akoko wọnni. Yi kiikan ti di aaye pataki ninu idagbasoke awọn igbadun ti ara ati awọn iṣẹ ṣiṣe.

Ti o ba ti pendulum jẹ ninu ohun-wonsi ipo (adiye ni inaro), awọn agbara ti walẹ yoo wa ni iwontunwonsi nipasẹ awọn owu ẹdọfu agbara. Atilẹyin ti ile-iwe lori ila-ọrọ ti ko ṣeeṣe jẹ eto ti o ni awọn ami meji ti ominira pẹlu asopọ kan. Nigbati o ba yipada nikan kan paati, awọn abuda ti gbogbo awọn ẹya rẹ yipada. Nitorina, ti o ba rọpo o tẹle ara ti opa, lẹhinna eto yii yoo ni nikan ni ọgọrun kan ti ominira. Kini awọn ohun-ini ti iwe-ẹkọ kika mathematiki? Ni ọna ti o rọrun julọ, ijakadi yoo waye labẹ agbara ti igbamu igbagbogbo. Ninu ọran naa nigbati aaye idadoro ko ni gbe sugbon oscillates, ipo ipo idanwo titun han ni apamọ. Pẹlu pipaduro oscillations si oke ati isalẹ ọna eto yii n ni ipo iduro kan "lodindi". O ni orukọ ti ara rẹ. O pe ni iwe-akọọlẹ Kapitza.

Awọn ohun-ini ti ile-iwe naa

Ilana mathematiki ni awọn ohun-ini pupọ. Gbogbo wọn ni a fi idi mulẹ nipasẹ awọn ofin ti ara ti a mọ. Akoko ti oscillation ti eyikeyi miiran pendulum da lori orisirisi awọn ayidayida, bii iwọn ati apẹrẹ ti ara, awọn aaye laarin awọn ojuami ti idadoro ati awọn ile-ti walẹ, pinpin ti ojuami ojulumo si a fun ojuami. Ti o ni idi ti idiyele akoko ti ara ti a fi ara koro jẹ ohun itoro kan. O rọrun pupọ lati ṣe iṣiro akoko ti iwe-kika mathematiki, ilana ti eyi yoo fun ni isalẹ. Gẹgẹbi abajade awọn akiyesi lori awọn ọna ṣiṣe iṣedede iru, ọkan le fi idi iru awọn ilana ijọba lelẹ:

• Ti o ba ni idaniloju kanna, pa awọn oriṣiriṣi oriṣiriṣi, lẹhinna akoko igbasilẹ wọn yoo jẹ kanna, biotilejepe awọn eniyan wọn yoo yato gidigidi. Nitori naa, akoko ti iru iwe-iranti yii ko dale lori ibi-ẹrù naa.

• Ti, ni ibẹrẹ eto, a ko kọ iwe-pamọ nipasẹ ko tobi ju, ṣugbọn awọn agbekale oriṣiriṣi, yoo wa pẹlu akoko kanna, ṣugbọn ni titobi oriṣiriṣi. Lakoko ti awọn iyatọ kuro laarin aalaye ko tobi ju, awọn iyipada ti o wa ninu fọọmu wọn yoo jẹ eyiti o sunmọ ni ibamu. Akoko ti iru iwe ipilẹ yii ko dale lori titobi gbigbọn. Ohun ini yi ti a npe ni isochronism (ni itumọ lati Giriki "chronos" - akoko, "isos" - dogba).

Akoko ti itọju mathematiki

Atọka yii jẹ akoko ti awọn oscillations adayeba. Bíótilẹ agbekalẹ iṣoro, ilana naa jẹ gidigidi irorun. Ti ipari ti okun kan ti iwe ipamọ Lithuania L, ati isare ti walẹ g, lẹhinna iye yi jẹ dọgba si:

T = 2π√L / g

Akoko ti awọn oscillations adayeba kekere ko ni igbẹkẹle ni eyikeyi iwọn lori ibi-ipamọ ati titobi ti awọn oscillations. Ni ọran yii, iwe-akọọlẹ naa n lọ bi ori iwe kika mathematiki pẹlu ipari ti a fifun.

Ilọkuro ti iwe ipamọ mathematiki

Aṣodiki pendulum oscillates, eyi ti a le ṣe apejuwe rẹ nipasẹ ọna kika iyatọ kan:

X + ω2 sin x = 0,

Nibo x (t) jẹ iṣẹ aimọ (eyi ni ọna iṣiro lati ipo idiyele kekere ni akoko t, ti a fihan ni awọn radians); Ω jẹ ijẹrisi rere, eyi ti a ti pinnu lati awọn ipilẹ ile-iwe (ω = √g / L, ibi ti g jẹ ifojusi nitori agbara walẹ, ati L jẹ ipari ti iwe-ipamọ.

Idingba ti awọn oscillations kekere sunmọ ipo ipoyeye (idogba ibamu) dabi eleyii:

X + ω2 sin x = 0

Iṣipọ oscillatory ti ile-iwe naa

Atilẹyin iwe kika mathematiki, eyi ti o mu ki awọn oscillations kekere, gbera pẹlu ẹda-ara. Iwọn idogba iyatọ keji ti pade gbogbo awọn ibeere ati awọn ifilelẹ ti iru išipopada. Lati mọ itọkasi naa, o gbọdọ pato iyara ati ipoidojuko, lati awọn iyasọtọ ti ominira lẹhinna ti pinnu:

x = A ẹṣẹ (θ ₀ + ωt),

ibi ti θ ₀ - ni ibẹrẹ alakoso, A - titobi ti oscillation, ω - salayipo igbohunsafẹfẹ pinnu rẹ lati idogba ti išipopada.

Atokun iwe iṣaro (agbekalẹ fun titobi nla)

Eto eto yii, eyi ti o ṣaṣe pẹlu titobi nla kan, o tẹle awọn ofin ti o ṣe pataki julo lọ. Fun iru ile-iwe yii, wọn ṣe iṣiro nipasẹ agbekalẹ:

Ese x / 2 = u * sn (ωt / u),

Nibo sn jẹ Jacobi sine, eyiti o jẹ fun igbagbogbo ni iṣẹ, ati fun kekere ti o ni ibamu pẹlu oṣuwọn iṣan ti o rọrun. Iwọn ti u jẹ ipinnu nipasẹ ikosile wọnyi:

U = (ε + ω2) / 2ω2,

Nibo ni = E / mL2 (mL2 ni agbara ti ile-iwe naa).

Awọn akoko ti oscillation ti a ti firanṣẹ pendulum ti pinnu nipasẹ awọn agbekalẹ:

T = 2π / Ω,

ibi ti Ω = π / 2 * ω / 2k (u), K - elliptic je, π - 3,14.

Movement ti awọn pendulum pẹlú awọn separatrix

Ayọtọtọ jẹ itọkasi ti eto ipilẹṣẹ pẹlu aaye alakoso meji-onisẹpo. Iwe itọju mathematiki gbe lọ pẹlu rẹ lai-loorekore. Ni aaye ti ko ni opin julọ ni akoko, o ṣubu lati iwọn ipo ti o ga julọ si ẹgbẹ ni odo iyara, lẹhinna ni o ṣe afẹfẹ soke. Ni ipari, o duro, o pada si ipo ipo rẹ.

Ti o ba ti titobi ti oscillation ti awọn pendulum yonuso awọn nọmba pi, o ti wa ni wi pe awọn išipopada ninu awọn alakoso ofurufu jẹ sunmo si separatrix. Ninu ọran yii, labẹ ipa ti agbara kekere kan ti o ni ipa, ọna eto ẹrọ jẹ ifihan ihuwasi.

Nigbati ọna kika kika mathematiki kuro lati ipo idiyele pẹlu awọn igun kan φ, ohun ti o bajẹ tan-a-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-niyi Ff = -mg sin φ. Iyokuro mii tumọ si pe a ṣe itọka pajawiri yii ni apa idakeji lati iyipada ti iwe-ipamọ. Ti a ba ṣe apejuwe iyipo ti ile-iwe nipasẹ x pẹlu arc ti iṣọn-ara pẹlu radius L, iṣiparọ angular rẹ jẹ dọgba si φ = x / L. Awọn keji ofin Isaaka Nyutona, apẹrẹ fun iṣiro ti awọn isare fekito ati agbara fun awọn ti o fẹ iye:

Mg τ = Ff = -mg sin x / L

Atẹjade lati inu ibatan yii, o han gbangba pe iwe-ipamọ yii jẹ eto ti a ko lo, nitori agbara ti o duro lati da pada si ipo ipoyeye jẹ deede ti ko tọ si iyipo x, ṣugbọn ẹṣẹ x / L.

Nikan nigbati awọn iwe-ẹkọ kika mathematiki ṣe awọn oscillations kekere, o jẹ oscillator harmonic. Ni gbolohun miran, o di ọna eto ti o ni agbara lati ṣe awọn oscillations harmonic. Isunmọ yi jẹ eyiti o wulo fun awọn igun ti 15-20 °. Awọn igbasilẹ ti iwe-ipamọ pẹlu awọn titobi nla ko ni ibamu.

Ofin Newton fun awọn kekere oscillations ti ipilẹ

Ti eto yii ba ṣe awọn oscillations kekere, ofin 2nd ti Newton yoo dabi eleyii:

Mg τ = Ff = -m * g / L * x.

Nisisiyi lati ṣe eyi, a le pinnu pe ifarahan ti o ṣe pataki ti iwe-ẹkọ kika mathematiki jẹ deede si ipo ti a fipa si pẹlu ami iyokuro. Eyi ni ipo nipasẹ eyi ti eto naa di oscillator harmonic. Iwọn deedee laarin ipo-gbigbe ati idojukọ jẹ dogba si square ti igbohunsafẹfẹ ipin lẹta:

Ω02 = g / L; Ω0 = √ g / L.

Atilẹba yii ṣe afihan ipo igbohunsafẹfẹ igbagbogbo ti awọn oscillations kekere ti iru apẹẹrẹ yii. Ilana lati inu eyi,

T = 2π / ω0 = 2πg g / L.

Awọn iṣiro da lori ofin ti itoju ti agbara

Awọn ohun-ini ti awọn agbekalẹ oscillatory ti awọn pendulum le tun ṣe apejuwe nipasẹ ofin ti itoju ti agbara. O yẹ ki o wa ni igbe kakiri ni lokan pe awọn ti o pọju agbara ti awọn pendulum ni a gravitational oko ni:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Full darí agbara je egbe awọn kainetik ati ki o pọju o pọju: Epmax = Ekmsx = E

Lẹhin ti ofin igbasilẹ ti agbara ti gbawe silẹ, ya idiyele ti awọn apa ọtun ati apa osi ti idogba:

Ep + Ek = const

Niwon awọn itọsẹ ti awọn idiwọn jẹ 0, lẹhinna (Eṣu + Ek) '= 0. Awọn itọsẹ ti apao dogba si apao awọn itọsẹ naa:

Ero '= (mg / L x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * a,

Nitorina:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Tesiwaju lati agbekalẹ ti o gbẹyin, a wa: α = - g / L * x.

Ohun elo ti o wulo ti iwe-ẹkọ kika mathematiki

Isare ti free isubu yatọ pẹlu latitude, nitori awọn iwuwo ti awọn erunrun ni ayika aye ko aami. Nibo ni awọn apata wa ti o tobi pupọ, yoo jẹ die-die siwaju sii. Iyarayara ti awọn iwe-ẹkọ mathematiki ni a maa n lo fun lilo ire-ijinlẹ ti agbegbe. A nlo lati wa fun awọn ohun alumọni pupọ. Nikan ṣe iṣiro nọmba awọn oscillations ti iwe-ipamọ, o le wa ninu awọn iyọlẹ ti ile-ọgbẹ tabi ohun elo. Eyi jẹ nitori otitọ pe iru awọn fossil naa ni iwuwo kan ati ibi ti o tobi julọ ju apata alaimuṣinṣin labẹ wọn.

Awọn iwe iṣiro mathematiki lo awọn ogbontarigi ti o ṣe pataki bi Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Ọpọlọpọ awọn ti wọn gbagbọ pe eto eto yii le ni ipa lori ayanmọ ati igbesi aye eniyan. Archimedes lo iwe-ẹkọ mathematiki kan ninu iṣiro rẹ. Ni akoko yii, ọpọlọpọ awọn oniwadi ati awọn ariyanjiyan lo ọna eto yii lati ṣe awọn asọtẹlẹ wọn tabi wa fun awọn eniyan ti o padanu.

Faranse Faranse astronomer ati onimọ ijinle sayensi K. K. Flammarion tun lo itọkasi mathematiki fun iwadi rẹ. O sọ pe pẹlu iranlọwọ rẹ o ṣe iṣakoso lati ṣe asọtẹlẹ iwari ti aye tuntun kan, ifarahan ti Tunguska meteorite ati awọn iṣẹlẹ pataki miiran. Ni akoko Ogun Agbaye Keji, ile-iwe iṣowo pataki kan ti ṣiṣẹ ni Germany (Berlin). Awọn ọjọ wọnyi, ile-iṣẹ Munich Institute of Parapsychology ti wa ni iṣẹ-ṣiṣe irufẹ bẹ. Awọn oṣiṣẹ ti ile-iṣẹ yii n pe iṣẹ wọn pẹlu iwe akosile "akosile".