Cramer ká ofin ati awọn oniwe-elo

Cramer ká ofin - jẹ ọkan ninu awọn gangan ọna fun lohun awọn ọna šiše ti PCM aljebra idogba (Slough). Awọn oniwe-išedede nitori awọn lilo ti awọn ifọwọsọya ti awọn eto iwe sekondiri, bi daradara bi diẹ ninu awọn ti awọn ihamọ ti paṣẹ ninu awọn ẹri ti awọn Theorem.

A eto ti PCM aljebra idogba pẹlu olùsọdipúpọ jẹ, fun apẹẹrẹ, a ọpọ ti R - gidi awọn nọmba ti unknowns x1, x2, ..., xn ni a gbigba ti awọn expressions

ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi pẹlu i = 1, 2, ..., m, (1)

ibi ti aij, bi - nomba gidi. Kọọkan ninu awọn wọnyi expressions ni a npe ni a PCM idogba, aij - olùsọdipúpọ ti awọn unknowns, bi - ominira olùsọdipúpọ ti idogba.

ojutu ti (1) tọka si n-onisẹpo fekito x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), ni eyi ti fidipo sinu awọn eto fun awọn unknowns x1, x2, ..., xn, kọọkan ti awọn ila ni awọn eto di ti o dara ju idogba .

Awọn eto ni a npe ni ibamu ti o ba ti o ni o ni ni o kere kan ojutu, ati ki o aisedede, ti o ba coincides pẹlu awọn ojutu ti awọn sofo ṣeto.

O gbodo ti ni ranti pe ni ibere lati wa solusan si awọn ọna šiše ti PCM idogba lilo awọn ọna ti Cramer, matrix awọn ọna šiše ni lati wa ni square, eyi ti o besikale tumo si awọn nọmba kanna ti unknowns ati idogba ninu awọn eto.

Nítorí náà, lati lo Cramer ká ọna, o gbọdọ ni o kere mọ ohun ti awọn Matrix ti wa ni a eto ti PCM aljebra idogba, ati awọn ti o ti wa ni ti oniṣowo. Ati keji, lati ni oye ohun ti wa ni a npe ni awọn determinant ti awọn matrix ati awọn oniwe-ara ogbon ti iṣiro.

Jẹ ki a ro pe yi imo ti o gbà. Iyanu! Ki o si o ni lati kan lóòrèkóòrè fomula ti npinnu Kramer ọna. Lati simplify memorization lo awọn wọnyi amiakosile:

• Det - awọn ifilelẹ ti awọn determinant ti awọn matrix ti awọn eto;

• deti - ni awọn determinant ti awọn matrix gba lati jc matrix ti awọn eto nipa rirọpo i-th iwe ti awọn matrix to a iwe fekito ti eroja ni o wa ni ọtun mejeji ti PCM aljebra idogba;

• n - awọn nọmba ti unknowns ati idogba ninu awọn eto.

Ki o si Cramer ká ofin iṣiro i-th paati XI (i = 1, .. n) n-onisẹpo fekito x le ti wa ni kọ bi

XI = deti / Det, (2).

Ni idi eyi, Det muna ti o yatọ lati odo.

Awọn uniqueness ti awọn ojutu ti awọn eto nigbati o ti wa ni lapapo pese nipa awọn aidogba majemu ti awọn ifilelẹ ti awọn determinant ti awọn eto si odo. Tabi ki, ti o ba ti iye (XI), squared, muna rere, ki o si SLAE a square matrix jẹ infeasible. Eleyi le waye ni pato nigbati o kere ọkan ninu awọn deti nonzero.

Apere 1. Lati yanju awọn onisẹpo mẹta Lau eto nipa lilo Cramer ká agbekalẹ.
2 x1 + x2 + X3 = 31 4,
5 x1 + x2 + X3 = 2 29,
3 x1 - x2 + X3 = 10.

Ipinnu. A kọ si isalẹ awọn matrix ti awọn eto ila nipa ila, ibi ti Ai - ni awọn i-th kana ti awọn matrix.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Iwe free olùsọdipúpọ b = (31 29 10).

Awọn ifilelẹ ti awọn eto ni awọn determinant Det
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Lati ṣe iṣiro awọn permutation det1 lilo a11 = B1, a21 = B2, a31 = B3. ki o si
det1 = B1 a22 a33 + a12 a23 B3 + a31 B2 a32 - a13 a22 B3 - B1 a32 a23 - a33 B2 a12 = ... = -81.

Bákan náà, to oniṣiro det2 lilo fidipo a12 = B1, a22 = B2, a32 = B3, ati, accordingly, lati ṣe iṣiro det3 - a13 = B1, a23 = B2, a33 = B3.
Ki o si ti o le ṣayẹwo ti o det2 = -108, ati det3 = - 135.
Ni ibamu si awọn fomula Cramer ri x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5.

Dahun: x = ° (3,4,5).

Gbigbe ara lori awọn fun lilo ti ofin yi, awọn ọna ti Kramer lohun awọn ọna šiše ti PCM idogba le ṣee lo ogbon ekoro, fun apẹẹrẹ, lati se iwadi awọn eto lori awọn ti ṣee ṣe nọmba ti awọn solusan ti o da lori iye ti a paramita k.

Apere 2. Lati mọ ni ohun ti iye ti awọn paramita k aidogba | kx - y - 4 | + | x + KY + 4 | <= 0 ni o ni gangan kan ojutu.

Ipinnu.
Eleyi aidogba, nipa definition ti awọn module iṣẹ le wa ni ošišẹ nikan ti o ba awọn mejeeji expressions ni o wa odo nigbakannaa. Nitorina, isoro yi ni dinku si wiwa awọn ojutu ti PCM aljebra idogba

kx - y = 4,
x + KY = -4.

Awọn ojutu si yi eto nikan ti o ba jẹ awọn ifilelẹ ti awọn determinant ti awọn
Det = k ^ {2} + 1 ni o jẹ nonzero. O ti wa ni ko o pe yi majemu jẹ didun fun gbogbo awọn ti gidi iye ti awọn paramita k.

Dahun: fun gbogbo awọn ti gidi iye ti awọn paramita k.

Awọn afojusun ti yi iru le tun ti wa ni dinku ọpọlọpọ awọn wulo awọn isoro ni awọn aaye ti mathimatiki, fisiksi tabi kemistri.